Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.3.1.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.3.3

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Etapa 5.2.2

Reordene $- λ \sqrt{2}$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6

Subtraia $4$ de $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.7

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.8

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.9

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$